Numero di Dottie

Il numero di Dottie è l'unico punto fisso reale della funzione coseno

In matematica, il numero di Dottie è una costante che è l'unica radice reale dell'equazione

$\cos x=x,$

dove l'argomento del coseno è in radianti. L'espansione decimale del numero di Dottie è $0,739085\ldots$.

Essendo $\cos(x)-x$ strettamente decrescente, attraversa lo zero solo in un punto. Ciò implica che l'equazione $\cos(x)=x$ ha una sola soluzione reale. È l'unico punto fisso reale della funzione coseno ed è un esempio non banale di punto fisso di attrazione universale. È anche un numero trascendente a causa del teorema di Lindemann-Weierstrass. Il caso generalizzato $\cos z=z$ per una variabile complessa $z$ ha infinite radici, ma a differenza del numero di Dottie, non attraggono punti fissi.

Usando la serie di Taylor dell'inverso di $f(x)=\cos x-x$ in ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ (o equivalentemente, il teorema di inversione di Lagrange), il numero di Dottie può essere espresso come la serie infinita ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,{\text{dispari}}}a_{n}\pi ^{n}}$ dove ciascun $a_{n}$ è un numero razionale definito per $n$ dispari come

$a_{n}={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial x^{n-1}}}{\left({\frac {\cos x}{x-\pi /2}}-1\right)^{-n}},$

i cui primi valori sono:

$a_{1}=-{\frac {1}{4}};$

$a_{3}=-{\frac {1}{768}};$

$a_{5}=-{\frac {1}{61440}};$

$a_{7}=-{\frac {43}{165150720}}.$

Samuel Kaplan riferisce che il nome deriva da una professoressa di francese che aveva notato il numero ottenuto premendo ripetutamente il pulsante del coseno sulla sua calcolatrice.

Collegamenti esterni

• T.H. Miller, On the numerical values of the roots of the equation cosx = x, in Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 9, 1890, pp. 80-83, DOI:10.1017/S0013091500030868.
• Valerii Salov, Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine, in arXiv: History and Overview, 2012, arXiv:1212.1027.
• Mohammad K. Azarian, On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions (PDF), in International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 46, 2008.